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罗尔定理的证明过程

2026-07-29【信息】

简介罗尔定理是微积分中的基础定理之一，用于判断函数在区间内是否存在极值点。其内容为：若函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，...

罗尔定理是微积分中的基础定理之一，用于判断函数在区间内是否存在极值点。其内容为：若函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $ f(a) = f(b) $，则至少存在一点 $ c in (a, b) $，使得 $ f (c) = 0 $。

以下是罗尔定理的证明过程总结：

步骤	内容
1	假设 $ f(a) = f(b) $，且 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导。
2	若 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上恒为常数，则任意 $ c in (a, b) $ 都满足 $ f (c) = 0 $。
3	若 $ f(x) $ 不恒为常数，则由连续性，$ f(x) $ 在区间内必有最大值或最小值。
4	若极值点在内部，则根据费马定理，该点导数为零。
5	因此，存在 $ c in (a, b) $，使得 $ f (c) = 0 $。

通过上述步骤，完成罗尔定理的证明。

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